0是自然数吗,来交流讨论下

 生活杂谈     |      2019-12-01 22:35
  在现行小学数学教材中,我们研究“因数与倍数”都是在非0自然数范围内研究,但是对于教师的“最小一位数是1还是0”“ 0和1是互质数”等这样的问题,我们又不可避免陷入思考,今天我们就抓住以下六个问题来交流。
  思考一:为什么要把0划归自然数
  从数学发展史看,国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点:一种认为0是自然数,另一种认为0不是自然数。建国以来,我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前,国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流,1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB 3100-3102-93)《量和单位》(11-2.9)第311页,规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中,教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。
  思考二:最小一位数是1还是0
  0是最小的自然数,那么最小的一位数是1还是0?在0没有归入自然数以前大家都很清楚,最小的一位数是1。那么,现在0也成为自然数了,最小的一位数还是1吗?这是许多教师提出的疑问,笔者认为最小的一位数还是1。
  因为,0表示一个物体也没有,在记数法中是表示空位的一个符号,如3005里0就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将0划归自然数,然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数,叫做一位数,只用两个有效数字,其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话,那么最小的两位数是10还是00呢?那么最小的三位数、四位数……又是多少呢?所谓最大的几位数,最小的几位数,通常也是在非零自然数有范围来说。所以,最大一位数是9,最小一位数是1;最大两位数是99,最小两位数是10;最大三位数是999,最小三位数是100……”
  综上所述,0虽然是最小的自然数,但仍然不能称为一位数,更不能称为最小的一位数。
  思考三:自然数的计数单位还是1吗
  大家都知道,0是自然数中最小的一个。0加1得1,1加1得2 ,2加1得3,……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知,后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此,任何一个自然数都是由若干个1合并而成,所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。
  思考四:0是其它非零自然数的倍数吗
  在现行小学数学教材中,关于“数的整除”及“因数和倍数”的定义并未做任何改变,教材中有这样的叙述:“因为0也能被2整除,所以0也是偶数”。以此类推,0能被所有非零自然数整除,根据因数倍数的定义,0是任何非零自然数的倍数,任何非零自然数都是0的因数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时,一般限于非零自然数范围内,如讲最小公倍数时,是把0排除在外的。为此,教材中都会明确指出:“为了方便,以后在研究因数和倍数时,我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。
  但需要注意的是,例如“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的因数的个数是有限的”等这样的结论,必须强调是在非零自然数范围内。
  思考五:0是不是合数
  关于自然数的分类,有两种情况:一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合;二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员,因而有许多教师提出这样的问题:0是合数,还是“另成一派”?
  前面已经谈过了,“在研究因数和倍数时,我们所说的数一般不包括0”,但作为一种学术研究,这必不可少。根据合数的定义:“一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为合数范围,但0的因数个数有无限个,并且它与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。因此,0不能归为合数,应该把0划归为“既不质数,也不是合数”的范围。也就是说,根据因数个数的多少可以把自然数看成是质数、合数、1及0组成的集合。
  思考六:0和1是互质数吗
  “任何相邻的两个自然数是互质数”这句话在不考虑0时,毫无疑问是正确的。那现在我们要研究“0和1”这两个相邻的自然数是不是质数,这个结论对不对呢?根据定义:“公因数只有1的两个数,叫做互质数。”因为0的因数有无数个,而1的因数只有一个1,可见0和1的公因数只有“1”,因此“0和1是互质数”是正确的。当然“任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是正确的。